ما السر في الرقم 6174؟

العلاقات العامة – شمال غزة

ما الغريب في رقم 6174؟ رقم يتألّف من أربع خانات رياضية يبدو عاديًا تمامًا كأي رقم آخر في الرياضيات! لكن بعد أن تطلّع على التحليلات التي خرج بها علماء الرياضيات حول رقم 6174، ستتغيّر نظرتك تجاه هذا الرقم بالكامل.

القصة

في عام 1949، وضع عالم الرياضيات الهندي "كابريكار" تصميمًا رياضيًا بات يُعرف اليوم باسم عملية كابريكار. كان أساس العملية أن يقوم باختيار عدد يتألف من أربع منازل بأعداد مختلفة (أي ليست على شاكلة 1111 أو 2222..إلخ). ثم إعادة ترتيب الرقم للحصول على أكبر عدد ممكن وأصغر عدد ممكن يُمكن الحصول عليه من هذه الأرقام. بعد ذلك طرح أصغر عدد من أكبر عدد للحصول على رقم جديد، وإعادة العملية لكل عدد جديد ناتج بنفس الآلية.

تبدو عملية حسابية سهلة وبسيطة، لكن ما اكتشفه عالم الرياضيات كابريكار كان مفاجئًا وصادمًا للغاية! ومن أجل استيعاب ما تم التوصّل إليه، فلنفترض رقمًا رباعي المنزلة ونقوم بإجراء العملية الحسابية السابقة عليه. على سبيل المثال: ليكن العدد 2005، بحيث أن أكبر عدد يُمكن تشكيله منه هو 5200، وأصغر عدد هو 0025. بالتالي، عملية الطرح ستكون كالآتي:

5200 – 0025 = 5175

بالمثال، نُطبّق نفس العملية السابقة على الرقم الجديد 5175..

الرقم الأكبر من 5175 هو 7551 و الرقم الأصغر منه هو 1557 فيكون:

7551 – 1557 = 5994

9954 – 4599 = 5355

5553 – 3555 = 1998

9981 – 1899 = 8082

8820 – 0288 = 8532

8532 – 2358 = 6174

و صلنا للرقم 6174، فالرقم الأكبر منه هو 7641 و الأصغر هو 1467:

7641 – 1467 = 6174

ماذا ستلاحظ؟

مع تكرار العملية عدة مرات والوصول إلى الرقم 6174، يُلاحظ أن العملية تبدأ بتكرار نفسها، لذلك يُعتبر العدد 6174 لُب وجوهر عملية كابريكار. وللتأكيد على ذلك، فلنجرب رقمًا آخر، وليكن على سبيل المثال: 1789. نُكرر نفس العملية السابقة:

9871 – 1789 = 8082

8820 – 0288 = 8532

8532 – 2358 = 6174

مجدداً: (6174) ؟؟؟

حصلنا مرةً أخرى على العدد 6174! وكما نُلاحظ، فقد وصلنا إلى هذا الرقم في المثال الأول في سبع خطوات حسابية، أما المثال الثاني في ثلاث خطوات. والمذهل في الأمر أنك ستصل إلى الرقم 6174 في كل مرة تُجري بها نفس العملية الحسابية لعدد يتألف من أربع منازل. وقد أُطلق على الرقم 6174 باسم "ثابت كابريكار" و الرقم "6174" أحدها.

المذهل في الأمر أن التحقق من عملية كابريكار عبر الحاسوب أثبت نجاحها! فعند استخدام برامج حاسوبية متخصصة بإجراء عمليات حسابية طويلة أو معقّدة، تبيّن أن الحاسوب يُعطي نفس الناتج مع اختلاف عدد خطوات العملية الحسابية التي وصلت إلى سبع خطوات على الأكثر، عند بدء العملية برقم يتألف من أربع منازل، بحيث لا تكون الخانات متشابهة.

هذه الظاهرة الرياضية الغريبة أعطت الرقم 6174 سحرًا ونوعًا من الغموض بالنسبة لعلماء الرياضيات. وما سيزيد من ولعك بعلم الرياضيات الغامض، أن هناك أرقام مشابهة يُمكن التوصل إليها من عمليات مشابهة لعملية كابريكار مع اختلاف عدد خانات الأرقام، مثل الأرقام ثلاثية المنازل.

وإن قُمت بتجربة نفس الآلية الحسابية السابقة على عدد ثلاثي المنازل، فإنك ستحصل على عدد سحري جديد، وهو الرقم 495. مهما كرّرت في العملية الحسابية السابقة لأي رقم من ثلاث منازل، فإن الناتج النهائي بعد عدة خطوات سيكون 495 ولن يتغيّر!

بالطريقة المتبعة لأي رقم باستخراج أكبر رقم مؤلف من أرقامه مثلا الرقم 55836 و نحصل على 86553 و نطرح منه أصغر رقم مؤلف منه فإن الناتج سيحدد هل هو ثابت كابريكار أم لا؟

86553 – 35568 = 50985

الناتج ليس الرقم 55836، فبالتالي ليس ثابت كابكريكار، أما إذا أخذنا رقم 495 و هو ثابت كابريكار من 3 خانات:

954 – 459 = 495

حصلنا على تكرار من الرقم 495 فبالتالي هو ثابت كابريكار!

الرياضيات الترفيهية والألوان!

من التطبيقات الممتعة على ثابت كابريكار، هو أخذ الرقم 6174 وتلوين الخطوات التي تصل إلى هذا الرقم عند اختلاف الرقم رباعي المنزلة في كل مرة، والنتيجة كانت مذهلة بحق!

خُبراء رياضيات من مؤسسة سيغرام للتكنولوجيا في الهند، قرّروا تلوين الخطوات التي يتم الوصول فيها إلى ناتج 6174، مع الأخذ بعين الاعتبار أن العملية الحسابية لا تتجاوز سبع خطوات للوصول إلى الرقم الغامض!

وعلى اعتبار ما سبق بأنه الأساس لهذه الشيفرة الحسابية، تم استعال أجهزة كمبيوتر “راسبيري باي Raspberry Pi”، وهي أجهزة حاسوبية بسيطة التركيب صغيرة الحجم لا يزيد حجمها عن حجم بطاقة الائتمان، وعادةً ما يستعملها الأساتذة في مجال تدريس الرياضيات والعلوم والتكنولوجيا.

باستعمال لغة “ولفرام”، وهي لغة برمجية متعددة النماذج الحسابية ومتواجد مجانًا على أجهزة حاسوب راسبيري باي، تم إجراء عمليات حسابية لجميع مجموعات الأرقام الأربعة، والتي يبلغ عددها 10000 مجموعة. بعد ذلك، استعمال الناتج في خلق أنماط ملوّنة اعتمادًا على عدد الخطوات التي تصل للناتج 6174. وتم ترتيب الناتج في جداول متعددة الألوان.

الأرقام والألوان بدءًا من الأبيض للصفر وانتهاءًا بالأحمر لرقم 7

النمط الملوّن من نتائج عملية كابريكار الحسابية

مع تكرار العملية الحسابية، وُجد أن هناك أنماط لونية يُمكن ملاحظتها. وعند وضع الأعداد الفردية باللون الأزرق والزوجية بالأخضر، لوحظ ظهور نمط لوني جديد!

الأعداد الفردية باللون الأزرق والزوجية بالأخضر

وإن وضعتَ الأعداد الأولية باللون الأخضر، وبقية الألوان بالأزرق، فسيظهر نمط لوني مختلف قليلًا عن السابق.

الأعداد الأولية باللون الأخضر، وبقية الألوان بالأزرق

وبعد كل ما توصّل إليه العلماء مع ثابت كابريكار الغامض، لا تزال هناك سحابة كثيفة تُحيط بالرقم حتى الآن! وإن أردتَ إثبات مهاراتك الرياضية، يُمكنك أن تلعب بالأرقام ورؤية ما يُمكن أن تفعله بثابت كابريكار!

شرح أعداد كابريكار و ثابت كابريكار و الفرق بينهما

للعلم أن إثبات الرقم بأنه عدد كابريكار يختلف عن ثابت كابريكار، لو أخذنا رقم 9 و قمنا بتربيعه (9)^2 فإننا نحصل على رقم 81، ثم بجمع الرقمين من 81 اللذان هما 1 و 8:

1 + 8 = 9 من الناتج فإننا أثبتنا أن الرقم 9 هو عدد كابريكار، فقانون كابريكار ينص:

هو n إذا تحقق الشرط التالي، أن n^2 = (abcd) و الرقم (abcd) يقسم لجزأين و هما (cd)  و (ab) و الناتج منهما لابد أن يعطي n:

n^2 = (abcd)

مثال: تربيع(45) = 2025، 25 + 20 = 45

طالما الناتج هذين الرقمين ساوى نفس الرقم 45 إذن فهو عدد من أعداد كابريكار، لكن لو قلنا الرقم 46:

تربيع (46) = 2116

16 + 21 = 37

فالناتج لا يساوي 46، أي 37 لا يساوي 46 كما هو واضح جدا بكل بساطة فهما رقمين مختلفين، فبالتالي الرقم 46 ليس عدداً من أعداد كابريكار..

لكن لو كان الرقم فرديا فأن عدد خانات النصف اليميني أكبر من اليساري مثلا:

تربيع (297) = 88209

النصف اليميني هو (209) و اليساري هو (88):

فإن: 209 + 88 = 297

لنأخذ رقم أكبر و هو 538461:

(538461)2 = ٢٨٩٩٤٠٢٤٨٥٢١

عدد خانات رقم (٢٨٩٩٤٠٢٤٨٥٢١) هو 12 و بالتالي زوجي، فنقسم هذا الرقم بشكل متساوٍ

٢٤٨٥٢١ + ٢٨٩٩٤٠ = 538461

الناتج تتطابق مع الرقم (538461) فبالتالي هذا الرقم هو من أعداد كابريكار، قد يخطر على بالك هل هو ثابت كابريكار؟ أن ثابت كابريكار هو عدد يظهر في ناتج عملية طرحه من عددين مؤلفان من أرقام خاناته، حيث يطرح أكبر عدد مشكل من أرقام خانات هذا العدد بأصغر عدد ممكن.

حيث أن الرقم مثلا (56973) يتألف خاناته من هذه الأرقام [ 3 ، 7 ، 9 ، 6 ، 5 ] و لنكون أكبر رقم ممكن من هذه المجموعة نأخذ أكبر رقم ثم أقل، و 9 أكبر رقم في المجموعة ثم 7 ثم 6 ثم 5 ثم 3 فيكون أكبر رقم:

97653، أما أصغر رقم فبالعكس، 35679 و كأنك عكست الرقم الأكبر، لنطبق الخطوات:

أكبر رقم من (538461) هو 865431، و أصغر رقم هو 134568

865431 – 134568 = 730863

الناتج من عملية الطرح لم يتطابق، إذن الرقم (538461) هو عدد من أعداد كابريكار و لكنه ليس بثابت كابريكار!

و هذه سلسلة بأرقام كابريكار:

الأعداد الكابريكار الأولى هي 1،0، 9، 45، 55، 99، 297، 703، 999، 2223، 2728، 4950، 5050، 7272، 7777، 9999، 17344، 22222، 38962، 77778، 82656، 95121، 99999، 142857، 148149، 181819، 187110، 208495، 318682، 329967، 351352، 356643، 390313، 461539، 466830، 499500، 500500، 533170 و هكذا..

و بما أن خاصية العدد كابريكار متعلقة بأرقامه فإن الأعداد الكابريكار تختلف باختلاف نظام العد، كما يجب التنويه أن عدد كابريكار يجب أن يكون رقماً موجباً و ليس سالباً.

مثلا الرقم -٤٥ لو قمنا بتربيعه فبديهيا أن السالب سيختفي (-45)^2 = 2025 فكلنا نعرف أن حاصل ضرب عددين سالبين يعطي عدداً موجباً.

(-1)^2 = (-1 × -1) = 1 = +1 = (-1)^2 = (1)^2 و لكن -1 لا يساوي +1

25 + 20 = 45 و لكن الناتج هو في الأصل +45 و لا يساوي -45 !!!

لماذا لا يوجد رقم 10؟

من شروط عدد كابريكار أيضا أن لا يكون العدد أطرافه أصفاراً مثل الرقم 10:

(10)^2 = 100، فبالتالي 0 + 10 = 10 كما تلاحظ هذا غير منطقي أبدا، فأي عملية تجمع فيها صفر مع رقم آخر فالناتج نفسه، و لا حتى ثابت كابريكار:

10 هو نفس أكبر رقم و أصغر رقم هو 01 و عند طرحهما:

10 – 01 = 9 ، ننوه إنه لا يوجد ثابت كابريكار من خانتين.

فمهما حاولت:

(100)^2 = 10000 ، 000 + 10 = 10 ، 100 – 001 = 99

(1000)^2 = 1000000 ، 0000 + 100 = 100 ، 1000 – 0001 = 999 

(300)^2 = 90000 ، 000 + 90 = 90 ، 300 – 003 = 297

(800)^2 = 640000 ، 000 + 640 = 640 ، 800 – 008 = 792

باختصار الأرقام من 10، 20، 30، .... 100، 200، 300، .... 100000000 و هكذا من الأرقام ذات الأصفار فلا و لا يمكن أن تكون ثابت كابريكار!

أما الرقم 110: (110)2 = 12100 ، 100 + 12 = 112 فهو مختلف، و لكنه ليس عدد كابريكار، بينما رقم مثل 5050:

(5050)^2 = 25502500 ، 2500 + 2550 = 5050 فهو عدد كابريكار

لكن قد تلاحظ عدم وجود أرقام ثابت كابريكار مثل 495 و لا 6174 في السلسلة، لماذا؟

تذكر كما قلنا، أن إثبات الرقم كعدد كابريكار يختلف عن إثبات إنه ثابت كابريكار و أيضا ليس بالضرورة أن يكون ثابت كابريكار بنطبق عليه القانون الحسابي لأعداد كابريكار و هذا الأمر ينطبق على الرقم 6174 و لم يتحقق فيه شرط القانون الحسابي لعدد كابريكار، و لكنها مع ذلك تصنف كأعدد كابريكار تيمناً بالعالم الهندي الذي اكتشفها.

أما أرقام ثابت كابريكار فهي:

495، 6174، ٥٤٩٩٤٥، ٦٣١٧٦٤، 63317664، 97508421، 554999445، 864197532، 6333176664، 9753086421، 9975084201

و لكي يكون العدد ثابت كابريكار أن يكرر نفسه عند عملية طرح من عددين من نفس أرقامه و هو رقم تنتهي عنده العمليات الحسابية أيضا و لكن ليس بالضرورة أن ينطبق عليه شرط عدد كابريكار و مع ذلك يصنف كعدد كابربكار لكن ليس جزءاً من السلسلة المذكورة في الأعلى و أن يكون موجبا أيضا.

نلاحظ هنا عدم وجود رقم مؤلف من خانة أو خانتين و خمس فلنأخذ مثلا 28:

82 – 28 = 54

54 – 45 = 9

90 – 09 = 81

81 – 18 = 63

63 – 36 = 27

72 – 27 = 45

54 – 45 = 9

نلاحظ أن الأمر لم يستغرق طويلا للوصول للرقم 9 مجددا بعد هذه السلسلة البسيطة من الحسابات، فبالتالي لا شيء فريد و لا مميز بها و تلاحظ الشيء ذاته في الأرقام ذات خانتين، و كما قلنا أن الرقم 9 هو عدد من أعداد كابريكار و كما قلنا أن العملية لم تستغرق للوصول للرقم 9 لكن ليكون ثابت كابريكار يجب أن يكون ناتج الطرح هو الرقم نفسه تماما مثل 6174 أو 495.

7641 – 1467 = 6174، 954 – 459 = 495

و هذا لا يحدث أبدا مع الرقم 9 و أرقام الخانة الأولى لا يمكن عمل أكبر أو أصغر رقم منها لأن الرقم هو نفسه، و الناتج صفراً، أما الخانتين فمهما قمت بطرح من أي عدد من 12-98 فلنتحصل على نفس التنيجة أبداً كما أن من شروط ثابت كابريكار أن لا يكون العدد مؤلف من نفس الرقم مثل 1111 أو 2222.

مثلا 999: (999)^2 = 998001

001 + 998 = 999 إذن هو عدد من أعداد كابريكار، و لكن..

999 – 999 = 0 هذا لن ينجح أبدا و بالتالي ليس ثابت كابريكار، بينما رقمي 6174 و 495:

(6174)^2 = 38118276 ، (495)^2 = 245025

8276 + 3811 = 12087

025 + 245 = 270

كما تلاحظ هنا فثوابت كابريكار لم تتحق فيها شرط عدد كابريكار!

لنبحث عن نواة كابريكار في الأرقام ذات الخمس خانات كما الحال مع 495 و 6174 كان لازماً حساب مثل البقية و تم الأمر بالحاسوب ليكتشف عدم وجود أي نواة لكابريكار في الأرقام ذات الخمس خانات، لكن لوحظ أن الأرقام ذات الخانات الخمس تصل لواحدة من ثلاث عمليات متكررة:

71973→83952→74943→62964→71973

75933→63954→61974→82962→75933

59994→53955→59994

و الأرقام الثلاثة لا يعتبرون من ثابت كابريكار لأنهم لا يكررون أنفسهم كحال 6174 و 495 من ناتج عملية طرح أرقامهم نفسها!

(71973): 97731 – 13779 = 83952 مثلا

إذن خلاصة القول، بديهيا عدم وجود ثابت كابريكار من خانة واحدة لأن ناتج الطرح صفراً دائما و لا يجعل هذا من الصفر ثابت كاربيكار، و لا يوجد ثابت كابريكار من خانتين نظراً لاختلاف الناتج، و لا يمكن أن يكون مؤلف من رقم متكرر، و لا يوجد أيضا ثابت كابريكار من أي رقم من 5 خانات بعد عملية حسابية للبحث عن ذلك، كما لا فائدة من رقم مؤلف خاناته كلها من أصفار مثل 10،100 و هكذا.

من خصائص الرقم 6174

يتسم هذا الرقم أيضا بخصائص عدة منها أنه أيضا يعتبر "عدد هرشد" و هو عدد قابل للقسمة على مجموع أرقامه (عادة في نظام العد العشاري)، فإذا قسمت هذا الرقم على مجموع أرقامه:

6174 / (6+1+7+4) = 6174/18 = 343

فبالتالي فهو رقم قابل للقسمة على مجموع أرقامه.

كما أنه يعتبر من الأرقام "smooth number"، حيث أن قانون Smooth number كل العوامل المشتركة تساوي أو أقل من ن و الرقم 6174 يندرج تحت ذلك و عادة 7 هو أعلى رقم فمثلا:

49 عامله هو (7)^2 و الرقم 15750 = 2 × (3)^2 × (5)^3 × 7

و عليه، 6174 = 2 × (3)^2 × (7)^3

كما و يمكن الحصول عليه من ناتج أول 3 درجات من الرقم 18:

(18)^1 + (18)^2 + (18)^3 = 6174

كما أن مجموع عوامل مشتركه المربعة مربع أيضا:

(2)^2 + (3)^2 + (3)^2 + (7)^2 + (7)^2 + (7)^2 = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = (13)^2

كما و لا يزال اكتشاف أشياء جديدة يتعلق بهذا الرقم و يلفه الغموض و لهذا فهو بهذه الشهرة.